int sin^{-1} x , dx का मान ज्ञात कीजिए। | vedclass

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Question

(D) $I = \int \sin^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$

Vedclass · Accepted Answer

$x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + c$

Vedclass · Answer

(D) $I = \int \sin^{-1} x \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. मान लीजिए $u = \sin^{-1} x$ और $dv = dx$. तब $du = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ और $v = x$. सूत्र का उपयोग करने पर: $I = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$. समाकलन $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx$ को हल करने के लिए,मान लीजिए $t = 1 - x^2$,तो $dt = -2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$. यह मान रखने पर: $\int \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \, dx = \int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} \, dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} \, dt = -\frac{1}{2} \cdot (2t^{1/2}) = -\sqrt{t} = -\sqrt{1 - x^2}$. अतः,$I = x \sin^{-1} x - (-\sqrt{1 - x^2}) + c = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + c$.

$\int \sin^{-1} x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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