यदि किसी छात्र के संस्थानों $A$, $B$ और $C$ के प्रवेश परीक्षाओं में सफल होने की प्रायिकताएँ क्रमशः $0.6$, $0.5$ और $0.4$ हैं, जबकि $A$ और $B$ दोनों में सफल होने की प्रायिकता $0.3$, $B$ और $C$ दोनों में $0.2$, $A$ और $C$ दोनों में $0.2$, और तीनों में $0.1$ है, तो छात्र के ठीक एक परीक्षा में सफल होने की प्रायिकता क्या है......

एक निश्चित शहर में $25\%$ परिवारों के पास फोन है,$15\%$ के पास कार है और $65\%$ परिवारों के पास न तो फोन है और न ही कार। यदि $2000$ परिवारों के पास कार और फोन दोनों हैं,तो निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$1$. $10\%$ परिवारों के पास कार और फोन दोनों हैं।
$2$. $35\%$ परिवारों के पास या तो कार है या फोन।
$3$. शहर में $40,000$ परिवार रहते हैं।
उपरोक्त में से कौन से कथन सही हैं?

मान लीजिए कि $S$ धनात्मक पूर्णांकों के उन सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है जो $x^2 - y^2 = 12345678$ की शर्त को संतुष्ट करते हैं। तो,

$40$ छात्रों के एक समूह ने $3$ विषयों - गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान की परीक्षा दी। यह पाया गया कि सभी छात्र कम से कम एक विषय में उत्तीर्ण हुए। $20$ छात्र गणित में,$25$ छात्र भौतिकी में और $16$ छात्र रसायन विज्ञान में उत्तीर्ण हुए। अधिकतम $11$ छात्र गणित और भौतिकी दोनों में,अधिकतम $15$ छात्र भौतिकी और रसायन विज्ञान दोनों में,और अधिकतम $15$ छात्र गणित और रसायन विज्ञान दोनों में उत्तीर्ण हुए। तीनों विषयों में उत्तीर्ण होने वाले छात्रों की अधिकतम संख्या . . . . . . है।

यदि $P(A) = 0.5$,$P(B) = 0.7$,और $P(A \cap B) = 0.6$ है,तो $P(A \cup B) = \dots$

एक इलेक्ट्रॉनिक असेंबली दो सबसिस्टम $A$ और $B$ से बनी है। पिछले परीक्षण डेटा से पता चलता है कि विफलता की संभावनाएं $P(A \text{ fails}) = 0.2$, $P(B \text{ fails alone}) = 0.15$, और $P(A \cap B \text{ fail}) = 0.15$ हैं। तो $A$ के अकेले विफल होने की प्रायिकता क्या है?