यदि अवकल समीकरण y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy = 0$.पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x^2 - xy - y^2)}{y^2} = \f

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$3$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy = 0$.पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है $\frac{dx}{dy} = \frac{-(x^2 - xy - y^2)}{y^2} = \frac{-x^2 + xy + y^2}{y^2} = -(\frac{x}{y})^2 + (\frac{x}{y}) + 1$.माना $x = vy$, तो $\frac{dx}{dy} = v + y \frac{dv}{dy}$.समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $v + y \frac{dv}{dy} = -v^2 + v + 1$.$y \frac{dv}{dy} = 1 - v^2$.चरों को अलग करने पर: $\frac{dv}{1 - v^2} = \frac{dy}{y}$.दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + v}{1 - v}| = \ln |y| + C$.$v = \frac{x}{y}$ रखने पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + x/y}{1 - x/y}| = \ln |y| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + C$.बिंदु $(2, 1)$ पर: $\frac{1}{2} \ln |\frac{1 + 2}{1 - 2}| = \ln |1| + C \Rightarrow \frac{1}{2} \ln |3| = C$.अतः, $\frac{1}{2} \ln |\frac{y + x}{y - x}| = \ln |y| + \frac{1}{2} \ln 3$.$2$ से गुणा करने पर: $\ln |\frac{y + x}{y - x}| = 2 \ln |y| + \ln 3 = \ln |3y^2|$.घातांकीय लेने पर: $\frac{y + x}{y - x} = 3y^2$ या $\frac{y + x}{x - y} = -3y^2$.पुनर्व्यवस्थित करने पर: $y + x = 3y^2(x - y) = 3(xy^2 - y^3)$.$x + y = k(xy^2 - y^3)$ से तुलना करने पर, हमें $k = 3$ प्राप्त होता है।

यदि अवकल समीकरण $y^2 dx + (x^2 - xy - y^2) dy = 0$ का $(2, 1)$ पर हल $x + y = k(xy^2 - y^3)$ है, तो $k =$

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अवकल समीकरण $y^{\prime} = \frac{y}{x + \sqrt{xy}}$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए (जहाँ $C$ एक समाकलन स्थिरांक है):

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