यदि frac{dy}{dx} = frac{y^3 cos sqrt{x}}{sqrt | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{1/y^2}}$ है।चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{e^{1/y^2}}{y^3} dy = \

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$e - 4 \sin \sqrt{x}$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{1/y^2}}$ है।चरों को अलग करने पर,हमें $\int \frac{e^{1/y^2}}{y^3} dy = \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx$ प्राप्त होता है।माना $t = \frac{1}{y^2}$,तो $dt = -\frac{2}{y^3} dy$,इसलिए $\frac{dy}{y^3} = -\frac{dt}{2}$।माना $u = \sqrt{x}$,तो $du = \frac{dx}{2\sqrt{x}}$,इसलिए $\frac{dx}{\sqrt{x}} = 2du$।इन मानों को समाकलन में रखने पर,$\int e^t (-\frac{1}{2}) dt = \int \cos u (2 du)$ प्राप्त होता है।$-\frac{1}{2} e^t = 2 \sin u + C$।$t = \frac{1}{y^2}$ और $u = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} + C$।चूंकि $y(0) = 1$ दिया गया है,$x = 0$ पर $y = 1$,इसलिए $-\frac{1}{2} e^1 = 2 \sin(0) + C$,जिससे $C = -\frac{e}{2}$ प्राप्त होता है।अतः,$-\frac{1}{2} e^{1/y^2} = 2 \sin \sqrt{x} - \frac{e}{2}$।दोनों पक्षों को $-2$ से गुणा करने पर,$e^{1/y^2} = e - 4 \sin \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\frac{1}{y^2} = \log_e(e - 4 \sin \sqrt{x})$।इसकी तुलना $\frac{1}{y^2} = \log_e(f(x))$ से करने पर,$f(x) = e - 4 \sin \sqrt{x}$ प्राप्त होता है।

यदि $\frac{dy}{dx} = \frac{y^3 \cos \sqrt{x}}{\sqrt{x} e^{1/y^2}}$ और $y(0) = 1$ का हल $\frac{1}{y^2} = \log_e(f(x))$ है,तो $f(x) =$

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