यदि अवकल समीकरण (2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0 जहा | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$.माना $t = 2x+3y$. तब $dt = 2dx + 3dy$,अर्थात $dy = \frac{dt-2dx}{3}$.समीकरण में मान रखने पर: $(t

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$29$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$.माना $t = 2x+3y$. तब $dt = 2dx + 3dy$,अर्थात $dy = \frac{dt-2dx}{3}$.समीकरण में मान रखने पर: $(t-2)dx + (2t-7)\left(\frac{dt-2dx}{3}\right) = 0$.$3$ से गुणा करने पर: $3(t-2)dx + (2t-7)dt - 2(2t-7)dx = 0$.$(-t+8)dx + (2t-7)dt = 0 \implies dx = \frac{2t-7}{8-t}dt$.समाकलन करने पर: $x = \int \frac{2t-7}{8-t}dt = \int (-2 + \frac{9}{8-t})dt = -2t - 9\ln|8-t| + C$.$t = 2x+3y$ रखने पर: $x = -2(2x+3y) - 9\ln|8-2x-3y| + C \implies 5x+6y+9\ln|2x+3y-8| = C$.$y(0)=3$ का उपयोग करने पर: $0 + 6 + 9\ln|9-8| = C \implies C = 6$.समीकरण को $x+2y+3\ln|2x+3y-8|=2$ के रूप में लाने पर,$\alpha=1, \beta=2, \gamma=8$ प्राप्त होता है।अतः $\alpha+2\beta+3\gamma = 1 + 2(2) + 3(8) = 29$.

यदि अवकल समीकरण $(2x+3y-2)dx+(4x+6y-7)dy=0$ जहाँ $y(0)=3$ का हल $\alpha x+\beta y+3 \log_e|2x+3y-\gamma|=6$ है,तो $\alpha+2\beta+3\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

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