यदि सरल रेखा x cos alpha + y sin alpha = P वृ | vedclass

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Question

(A) वृत्त $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S + \lambda L =

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$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

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(A) वृत्त $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ और रेखा $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों का परिवार $S + \lambda L = 0$ द्वारा दिया जाता है।$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - P) = 0$$x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda P = 0$ $(i)$इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ है।चूंकि रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ व्यास $\overline{AB}$ है,इसलिए वृत्त का केंद्र इस रेखा पर स्थित होना चाहिए।केंद्र को रेखा के समीकरण में रखने पर:$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = P$$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = P$$-\frac{\lambda}{2} = P \Rightarrow \lambda = -2P$समीकरण $(i)$ में $\lambda = -2P$ रखने पर:$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha - a^2 - (-2P)P = 0$$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

यदि सरल रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ वृत्त $x^2 + y^2 = a^2$ को $A$ और $B$ पर काटती है,तो व्यास $\overline{AB}$ वाले वृत्त का समीकरण क्या होगा?

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एक वृत्त $S$ तीन वृत्तों $x^2+y^2-4x-2y+4=0$,$x^2+y^2-2x-4y+1=0$,और $x^2+y^2+4x+2y+1=0$ को लंबकोणीय (orthogonally) काटता है। तब,$S$ की त्रिज्या है

यदि वृत्त $x^2+y^2-6x-8y-12=0$ और $x^2+y^2-4x+6y+k=0$ एक-दूसरे के लंबकोणीय (orthogonal) हैं,तो '$k$' का मान क्या है?

वृत्तों $x^2 + y^2 = 4$ और $x^2 + y^2 - 8x - 8y + 7 = 0$ के लिए उभयनिष्ठ अनुस्पर्शियों (direct common tangents) की संख्या है:

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