જો સીધી રેખા x cos alpha + y sin alpha = P એ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0

Vedclass · Accepted Answer

$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

Vedclass · Answer

(A) વર્તુળ $S: x^2 + y^2 - a^2 = 0$ અને રેખા $L: x \cos \alpha + y \sin \alpha - P = 0$ ના છેદબિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળનું સમીકરણ $S + \lambda L = 0$ છે.$x^2 + y^2 - a^2 + \lambda(x \cos \alpha + y \sin \alpha - P) = 0$$x^2 + y^2 + \lambda x \cos \alpha + \lambda y \sin \alpha - a^2 - \lambda P = 0$ $(i)$આ વર્તુળનું કેન્દ્ર $\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}, -\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right)$ છે.કારણ કે રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ એ વ્યાસ $\overline{AB}$ છે,તેથી વર્તુળનું કેન્દ્ર આ રેખા પર હોવું જોઈએ.કેન્દ્રને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:$\left(-\frac{\lambda \cos \alpha}{2}\right) \cos \alpha + \left(-\frac{\lambda \sin \alpha}{2}\right) \sin \alpha = P$$-\frac{\lambda}{2} (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = P$$-\frac{\lambda}{2} = P \Rightarrow \lambda = -2P$સમીકરણ $(i)$ માં $\lambda = -2P$ મૂકતા:$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha - a^2 - (-2P)P = 0$$x^2 + y^2 - 2Px \cos \alpha - 2Py \sin \alpha + 2P^2 - a^2 = 0$

જો સીધી રેખા $x \cos \alpha + y \sin \alpha = P$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2$ ને $A$ અને $B$ માં છેદે,તો વ્યાસ $\overline{AB}$ ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ શું થાય?

Similar Questions

જે વર્તુળ $x^2+y^2-4x-4y+7=0$,$x^2+y^2+4x-4y+6=0$ અને $x^2+y^2+4x+4y+5=0$ ને લંબચ્છેદી રીતે છેદે છે તેની ત્રિજ્યા શોધો.

વર્તુળો $x^2+y^2+5x+4y-5=0$ અને $x^2+y^2-3x+5y-6=0$ ની રેડિકલ અક્ષ (radical axis) શોધો.

વર્તુળો $x^2 + y^2 + 2x + 8y - 23 = 0$ અને $x^2 + y^2 - 4x - 10y + 9 = 0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module