જો કાટકોણ ત્રિકોણના કર્ણ અને એક બાજુની લંબાઈનો સરવાળો આપેલો હોય,તો સાબિત કરો કે જ્યારે તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{3}$ હોય ત્યારે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ મહત્તમ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $ABC$ એક કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેમાં કર્ણ $AC = h$,પાયો $AB = x$ અને વેધ $BC = y$ છે. ધારો કે $\angle CAB = \theta$.
આપેલ છે કે કર્ણ અને એક બાજુનો સરવાળો અચળ છે,ધારો કે $h + x = k$,જ્યાં $k$ અચળ છે.
ત્રિકોણ પરથી,$\cos \theta = \frac{x}{h}$,તેથી $x = h \cos \theta$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા,$h + h \cos \theta = k$,જે આપે છે $h(1 + \cos \theta) = k$,અથવા $h = \frac{k}{1 + \cos \theta}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} x y$.
કારણ કે $x = h \cos \theta$ અને $y = h \sin \theta$,તેથી $A = \frac{1}{2} (h \cos \theta) (h \sin \theta) = \frac{1}{2} h^2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} h^2 \sin 2\theta$.
$h = \frac{k}{1 + \cos \theta}$ મૂકતા,આપણને મળે $A = \frac{k^2}{4} \cdot \frac{\sin 2\theta}{(1 + \cos \theta)^2}$.
મહત્તમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,$A$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{4} \left[ \frac{(1 + \cos \theta)^2 (2 \cos 2\theta) - \sin 2\theta \cdot 2(1 + \cos \theta)(-\sin \theta)}{(1 + \cos \theta)^4} \right]$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે $\frac{dA}{d\theta} = \frac{k^2}{2(1 + \cos \theta)^3} (2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1)$.
$\frac{dA}{d\theta} = 0$ લેતા,$2 \cos^2 \theta + \cos \theta - 1 = 0$ મળે,જેના અવયવ પાડતા $(2 \cos \theta - 1)(\cos \theta + 1) = 0$ થાય.
ત્રિકોણ માટે $\cos \theta = -1$ શક્ય નથી,તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.
દ્વિતીય વિકલિત કસોટીનો ઉપયોગ કરીને,તે સાબિત કરી શકાય છે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$ પર $\frac{d^2A}{d\theta^2} < 0$ છે,જે પુષ્ટિ કરે છે કે ક્ષેત્રફળ મહત્તમ છે.