यदि द्विघात समीकरण ax^2 + bx + c = 0 के मूलों | vedclass

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Question

(C) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।तब,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ है।दिया गया है कि मूलों क

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$H.P.$

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(C) माना $\alpha$ और $\beta$ द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूल हैं।तब,$\alpha + \beta = -b/a$ और $\alpha\beta = c/a$ है।दिया गया है कि मूलों का योग उनके व्युत्क्रमों के वर्गों के योग के बराबर है:$\alpha + \beta = \frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{(\alpha\beta)^2} = \frac{(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta}{(\alpha\beta)^2}$.मान रखने पर:$-b/a = \frac{(-b/a)^2 - 2(c/a)}{(c/a)^2} = \frac{b^2/a^2 - 2c/a}{c^2/a^2} = \frac{b^2 - 2ac}{c^2}$.$-b/a = \frac{b^2 - 2ac}{c^2} \implies -bc^2 = ab^2 - 2a^2c$.पुनर्व्यवस्थित करने पर $2a^2c = ab^2 + bc^2$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{2a}{b} = \frac{b}{c} + \frac{c}{a}$ प्राप्त होता है।यह दर्शाता है कि $\frac{c}{a}, \frac{a}{b}, \frac{b}{c}$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।अतः,उनके व्युत्क्रम $\frac{a}{c}, \frac{b}{a}, \frac{c}{b}$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

यदि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + c = 0$ के मूलों का योग उनके व्युत्क्रमों के वर्गों के योग के बराबर है,तो $a/c, b/a, c/b$ किसमें हैं?

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दिए गए दो समीकरणों को हल करें और दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें।
$I.$ $17 x^{2}+48 x=9$
$II.$ $13 y^{2}=32 y-12$

मान लीजिए कि $x$ और $y$ धनात्मक संख्याएँ हैं जहाँ $xy = \frac{1}{9}$,$x(y + 1) = \frac{7}{9}$,और $y(x + 1) = \frac{5}{18}$ है। $(x + 1)(y + 1)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $\alpha$ और $\beta$ समीकरण $5x^{2} + 6x - 2 = 0$ के मूल हैं। यदि $S_{n} = \alpha^{n} + \beta^{n}, n = 1, 2, 3, \ldots$ है,तो:

वह शर्त जिसके लिए ${x^3} - 3px + 2q$,${x^2} + 2ax + {a^2}$ के रूप के एक गुणनखंड से विभाज्य हो,है

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