यदि समीकरणों की प्रणालीx+(sqrt{2} sin alpha) | vedclass

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Question

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \sin \alpha

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$\frac{5 \pi}{24}$

Vedclass · Answer

(C) रैखिक समीकरणों की प्रणाली का गैर-तुच्छ हल होने के लिए,गुणांक आव्यूह का सारणिक शून्य होना चाहिए।$\Delta = \begin{vmatrix} 1 & \sqrt{2} \sin \alpha & \sqrt{2} \cos \alpha \ 1 & \cos \alpha & \sin \alpha \ 1 & \sin \alpha & -\cos \alpha \end{vmatrix} = 0$पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:$1(-\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) - \sqrt{2} \sin \alpha(-\cos \alpha - \sin \alpha) + \sqrt{2} \cos \alpha(\sin \alpha - \cos \alpha) = 0$$-1 + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha + \sqrt{2} \sin^2 \alpha + \sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2} \cos^2 \alpha = 0$$-1 + 2\sqrt{2} \sin \alpha \cos \alpha - \sqrt{2}(\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha) = 0$$-1 + \sqrt{2} \sin 2\alpha - \sqrt{2} \cos 2\alpha = 0$$\sqrt{2}(\sin 2\alpha - \cos 2\alpha) = 1$$\sin 2\alpha - \cos 2\alpha = \frac{1}{\sqrt{2}}$$\frac{1}{\sqrt{2}} \sin 2\alpha - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos 2\alpha = \frac{1}{2}$$\sin(2\alpha - \frac{\pi}{4}) = \frac{1}{2}$चूंकि $\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$,इसलिए $2\alpha \in (0, \pi)$,अतः $2\alpha - \frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4})$.अतः,$2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{6}$ या $2\alpha - \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6}$.स्थिति $1$: $2\alpha = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{5\pi}{24}$.स्थिति $2$: $2\alpha = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{4} = \frac{13\pi}{12} \Rightarrow \alpha = \frac{13\pi}{24}$ (जो दी गई सीमा से बाहर है)।अतः,$\alpha = \frac{5\pi}{24}$.

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