यदि वक्र y=x^{3} के बिंदु P(t, t^{3}) पर खींच | vedclass

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Question

(A) वक्र $y=x^{3}$ के लिए $P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ है।$x=t$ पर ढाल $3t^{2}$ है।$P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समी

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$-2t^{3}$

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(A) वक्र $y=x^{3}$ के लिए $P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = 3x^{2}$ है।$x=t$ पर ढाल $3t^{2}$ है।$P(t, t^{3})$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$ है।$y=x^{3}$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y=x^{3}$ को स्पर्श रेखा के समीकरण में रखने पर:$x^{3} - t^{3} = 3t^{2}(x - t)$.$(x - t)(x^{2} + xt + t^{2}) = 3t^{2}(x - t)$.चूंकि बिंदु $Q$ के लिए $x 
eq t$,इसलिए $x^{2} + xt + t^{2} = 3t^{2}$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x^{2} + xt - 2t^{2} = 0$ मिलता है।गुणनखंड करने पर $(x - t)(x + 2t) = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = -2t$ है।$Q$ के निर्देशांक $(-2t, -8t^{3})$ हैं।$PQ$ को $1:2$ के अनुपात में विभाजित करने वाले बिंदु का कोटि (ordinate) विभाजन सूत्र द्वारा:$y = \frac{1 	imes (-8t^{3}) + 2 	imes (t^{3})}{1 + 2} = \frac{-8t^{3} + 2t^{3}}{3} = \frac{-6t^{3}}{3} = -2t^{3}$.

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