यदि बिंदु P से दीर्घवृत्त 4 x^2+9 y^2-24 x+36 | vedclass

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Question

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x-3)^2+9(y+2)^2 = 72$ $\frac{(x-3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$

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$x^2+y^2-6 x+4 y-13=0$

Vedclass · Answer

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ है। पूर्ण वर्ग बनाने पर: $4(x-3)^2+9(y+2)^2 = 72$ $\frac{(x-3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$ यहाँ $a^2=18$ और $b^2=8$ है। परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के बिंदुपथ को नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है,जिसका समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = a^2+b^2$ होता है। मान रखने पर: $(x-3)^2+(y+2)^2 = 18+8$ $x^2-6 x+9+y^2+4 y+4 = 26$ $x^2+y^2-6 x+4 y-13 = 0$.

यदि बिंदु $P$ से दीर्घवृत्त $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ पर खींची गई स्पर्श रेखाएँ परस्पर लंबवत हैं,तो $P$ का बिंदुपथ क्या है?

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समीकरण $x = a \cos \theta$ और $y = b \sin \theta$ $(a > b)$ एक शांकव परिच्छेद (conic section) को दर्शाते हैं,जिसकी उत्केंद्रता (eccentricity) $e$ है:

दीर्घवृत्त $(x-3)^2 + (y-4)^2 = \frac{y^2}{9} + 16$ की उत्केंद्रता - है।

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