यदि दो वृत्त $(x-1)^2+(y-3)^2=r^2$ और $x^2+y^2-8x+2y+8=0$ दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं,तो

मान लीजिए कि $(\sqrt{8x-x^2-12}-4)^2+(x-7)^2, x \in R$ के अधिकतम और न्यूनतम मान क्रमशः $M$ और $m$ हैं। तो $M^2-m^2$ का मान ............... है।

क्या बिंदु $(-2.5, 3.5)$ वृत्त $x^{2}+y^{2}=25$ के अंदर,बाहर या उस पर स्थित है?

मान लीजिए $G$ त्रिज्या $R>0$ वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ समान त्रिज्या $r>0$ वाले $n$ वृत्त हैं। मान लीजिए कि $n$ वृत्तों $G_1, G_2, \ldots, G_n$ में से प्रत्येक वृत्त $G$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। साथ ही,$i=1,2, \ldots, n-1$ के लिए,वृत्त $G_i$ वृत्त $G_{i+1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,और $G_n$ वृत्त $G_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $n=4$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ यदि $n=5$ है,तो $r < R$
$(C)$ यदि $n=8$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ यदि $n=12$ है,तो $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$

यदि $A=(0,-2)$ और $B$ वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ पर कोई बिंदु है,तो $(AB)^2$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए $AB$ एक रेखाखंड है जिसका मध्य-बिंदु $C$ है और $D$,$AC$ का मध्य-बिंदु है। मान लीजिए $C_1$ व्यास $AB$ वाला वृत्त है और $C_2$ व्यास $AC$ वाला वृत्त है। मान लीजिए $E$,$C_1$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $EC$,$AB$ पर लंब है। मान लीजिए $F$,$C_2$ पर एक ऐसा बिंदु है कि $DF$,$AB$ पर लंब है और $E$ तथा $F$,$AB$ के विपरीत पक्षों पर स्थित हैं। तो,$\sin \angle FEC$ का मान है