જો સંકલન int_{0}^{5} frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} , | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:$I

Vedclass · Accepted Answer

$25$

Vedclass · Answer

(B) ધારો કે $I = \int_{0}^{5} \frac{x+[x]}{e^{x-[x]}} \,dx$. $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોવાથી,આપણે સંકલનને પૂર્ણાંક બિંદુઓ પર વિભાજિત કરીએ છીએ:$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{k}^{k+1} \frac{x+k}{e^{x-k}} \,dx$.ધારો કે $t = x-k$,તો $dx = dt$. જ્યારે $x=k, t=0$ અને જ્યારે $x=k+1, t=1$. સંકલન આ મુજબ બને છે:$I = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} \frac{t+k+k}{e^{t}} \,dt = \sum_{k=0}^{4} \int_{0}^{1} (t+2k) e^{-t} \,dt$.$I = \int_{0}^{1} (t+0)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+2)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+6)e^{-t} dt + \int_{0}^{1} (t+8)e^{-t} dt$.$I = \int_{0}^{1} (5t + 20)e^{-t} dt = 5 \int_{0}^{1} (t+4)e^{-t} dt$.ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા $\int (t+4)e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - \int -e^{-t} dt = -(t+4)e^{-t} - e^{-t} = -(t+5)e^{-t}$.$0$ થી $1$ સુધી મૂલ્ય લેતા: $5[-(1+5)e^{-1} - (-(0+5)e^{0})] = 5[-6e^{-1} + 5] = -30e^{-1} + 25$.$\alpha e^{-1} + \beta$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\alpha = -30$ અને $\beta = 25$ મળે છે.શરત તપાસતા: $5(-30) + 6(25) = -150 + 150 = 0$. જે સાચું છે.આમ,$(\alpha + \beta)^{2} = (-30 + 25)^{2} = (-5)^{2} = 25$.

Similar Questions

જો $\int_{n}^{n+1} f(x) dx = n^2 + n$ તમામ $n \in I$ માટે હોય,તો $\int_{-3}^{3} f(x) dx$ ની કિંમત કેટલી થાય?

સંકલન $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^{2}+2x+5}$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચિત સંકલન $\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\frac{{\sin 5x}}{{\sin x}}\,dx} $ નું મૂલ્ય છે

જો $\int_2^e {\left[ {\frac{1}{{\log x}} - \frac{1}{{{{(\log x)}^2}}}} \right]} \,dx = \alpha + \frac{\beta }{{\log 2}},$ હોય,તો

સંકલન $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{136 \sin x}{3 \sin x+5 \cos x} dx$ ની કિંમત શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module