જો સદિશો $2i - j + k$,$i + 2j - 3k$ અને $3i + \lambda j + 5k$ સમતલીય હોય,તો $\lambda = $

$\lambda$ ના તમામ વાસ્તવિક મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો જેના માટે સદિશો $\vec{a} = \lambda \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$, $\vec{b} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + 2\hat{k}$, અને $\vec{c} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + \lambda \hat{k}$ સમતલીય હોય:

ધારો કે $\overrightarrow{A} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\overrightarrow{B} = \hat{i}$,અને $\overrightarrow{C} = C_1\hat{i} + C_2\hat{j} + C_3\hat{k}$. જો $C_2 = -1$ અને $C_3 = 1$ હોય,તો ત્રણ સદિશોને સમતલીય બનાવવા માટે:

જો ત્રણ સદિશો $\vec{a} = 12\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{b} = 8\hat{i} - 12\hat{j} - 9\hat{k}$ અને $\vec{c} = 33\hat{i} - 4\hat{j} - 24\hat{k}$ એક સમાંતર ફલક (parallelepiped) ની ધાર દર્શાવતા હોય,તો તેનું ઘનફળ કેટલું થાય?

જો $\overline{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}, \overline{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$ અને $\overline{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$ એ શૂન્યતર અસમતલીય સદિશો હોય અને $m$ એ શૂન્યતર અદિશ એવી રીતે હોય કે જેથી $[m\overline{a}+\overline{b} \quad m\overline{b}+\overline{c} \quad m\overline{c}+\overline{a}] = 28[\overline{a} \quad \overline{b} \quad \overline{c}]$ થાય,તો $m$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c}=11$,$\vec{b} \cdot(\vec{a} \times \vec{c})=27$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=-\sqrt{3}|\vec{b}|$,તો $|\vec{a} \times \vec{c}|^2$ ની કિંમત શોધો.