આકૃતિમાં,$X$ અને $Y$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની સામસામેની બાજુઓ $AD$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે. વળી,$BX$ અને $DY$ એ $AC$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AP = PQ = QC$.

(N/A) આપેલ છે: $ABCD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે,$X$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$1$. $AD \parallel BC$ અને $AD = BC$ હોવાથી,આપણને $DX \parallel BY$ અને $DX = BY$ મળે છે ($X$ અને $Y$ મધ્યબિંદુઓ હોવાથી).
$2$. તેથી,$XBYD$ એક સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે કારણ કે તેની સામસામેની બાજુઓની એક જોડ સમાન અને સમાંતર છે.
$3$. આનો અર્થ એ છે કે $PX \parallel QD$ અને $PY \parallel BQ$.
$4$. $\triangle AQD$ માં,$X$ એ $AD$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $XP \parallel QD$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$AP = PQ$.
$5$. $\triangle CPB$ માં,$Y$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે અને $YQ \parallel PB$ છે. મધ્યબિંદુ પ્રમેયના પ્રતિપ પ્રમેય મુજબ,$Q$ એ $PC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી,$PQ = QC$.
$6$. ઉપરના બે પરિણામો પરથી,આપણને $AP = PQ = QC$ મળે છે.