आकृति में,$PSDA$ एक समांतर चतुर्भुज है। $PS$ पर बिंदु $Q$ और $R$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $PQ = QR = RS$ और $PA \parallel QB \parallel RC$ है। सिद्ध कीजिए कि $\operatorname{ar}(PQE) = \operatorname{ar}(CFD)$ है।

(A) $PSDA$ एक समांतर चतुर्भुज है। $PS$ पर बिंदु $Q$ और $R$ इस प्रकार लिए गए हैं कि $PQ = QR = RS$ और $PA \parallel QB \parallel RC$ है।
हमें सिद्ध करना है कि $\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$ है।
चूंकि $PSDA$ एक समांतर चतुर्भुज है,इसलिए $PS = AD$ और $PS \parallel AD$ है।
दिया है कि $PQ = QR = RS$,इसलिए $PQ = QR = RS = \frac{1}{3} PS$ है।
चूंकि $PA \parallel QB \parallel RC \parallel SD$ है,इसलिए अंतःखंड प्रमेय (Intercept Theorem) के अनुसार $AB, BC, CD$ भी बराबर होंगे।
अतः,$AB = BC = CD = \frac{1}{3} AD$ है।
इसलिए,$PQ = CD$ प्राप्त होता है।
अब,$\triangle PQE$ और $\triangle CFD$ पर विचार करें:
$1$. $PQ = CD$ (ऊपर सिद्ध किया गया)।
$2$. $\angle QPE = \angle FDC$ (एकांतर अंतःकोण,क्योंकि $PS \parallel AD$ और $PD$ एक तिर्यक रेखा है)।
$3$. $\angle PQE = \angle FCD$ (संगत कोण,क्योंकि $QB \parallel RC$ और $PS$ एक तिर्यक रेखा है)।
$ASA$ सर्वांगसमता नियम के अनुसार,$\triangle PQE \cong \triangle CFD$ है।
चूंकि सर्वांगसम त्रिभुजों का क्षेत्रफल बराबर होता है,इसलिए $\operatorname{ar}(\triangle PQE) = \operatorname{ar}(\triangle CFD)$ है।