સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $\square ABCD$ માં,$T$ એ $\overline{BC}$ પરનું એક બિંદુ છે. રેખાખંડ $\overrightarrow{AT}$ એ $\overline{BD}$ ને $M$ માં અને $\overrightarrow{DC}$ ના લંબાવેલા ભાગને $O$ માં છેદે છે. સાબિત કરો કે $AM^{2} = MT \times MO$.

(N/A) $\triangle ABM$ અને $\triangle OTM$ ને ધ્યાનમાં લો. $AB \parallel OC$ હોવાથી (કારણ કે $ABCD$ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે),$\angle BAM = \angle TOM$ (યુગ્મકોણ) અને $\angle ABM = \angle OTM$ (યુગ્મકોણ) થાય છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABM \sim \triangle OTM$.
તેથી,$\frac{AM}{OM} = \frac{BM}{TM} = \frac{AB}{OT} \quad (1)$.
હવે $\triangle ABT$ અને $\triangle OCT$ ને ધ્યાનમાં લો. $AB \parallel OC$ હોવાથી,$\angle BAT = \angle COT$ અને $\angle ABT = \angle OCT$ થાય છે.
$AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\triangle ABT \sim \triangle OCT$.
તેથી,$\frac{AB}{OC} = \frac{BT}{CT} = \frac{AT}{OT} \quad (2)$.
$\triangle BCD$ માં સમાંતર રેખાઓ અને છેદિકા $AT$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{BM}{MD} = \frac{BT}{TC}$ મળે છે.
સમરૂપતાના ગુણોત્તર અને અંતઃખંડના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા સાબિત થાય છે કે $\frac{AM}{MT} = \frac{MO}{AM}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $AM^{2} = MT \times MO$ મળે છે.