समांतर चतुर्भुज $\square ABCD$ में,$T$,$\overline{BC}$ पर एक बिंदु है। रेखाखंड $\overrightarrow{AT}$,$\overline{BD}$ को $M$ पर और $\overrightarrow{DC}$ के विस्तार को $O$ पर प्रतिच्छेद करता है। सिद्ध कीजिए कि $AM^{2} = MT \times MO$.

(N/A) $\triangle ABM$ और $\triangle OTM$ पर विचार करें। चूँकि $AB \parallel OC$ ($ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है),$\angle BAM = \angle TOM$ (एकांतर अंतःकोण) और $\angle ABM = \angle OTM$ (एकांतर अंतःकोण) हैं।
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle ABM \sim \triangle OTM$ है।
अतः,$\frac{AM}{OM} = \frac{BM}{TM} = \frac{AB}{OT} \quad (1)$.
अब $\triangle ABT$ और $\triangle OCT$ पर विचार करें। चूँकि $AB \parallel OC$,$\angle BAT = \angle COT$ और $\angle ABT = \angle OCT$ हैं।
$AA$ समरूपता कसौटी से,$\triangle ABT \sim \triangle OCT$ है।
अतः,$\frac{AB}{OC} = \frac{BT}{CT} = \frac{AT}{OT} \quad (2)$.
$\triangle BCD$ में समांतर रेखाओं और तिर्यक रेखा $AT$ के गुणों का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{BM}{MD} = \frac{BT}{TC}$ प्राप्त होता है।
समरूपता अनुपातों और अंतःखंड प्रमेय का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\frac{AM}{MT} = \frac{MO}{AM}$ है।
वज्र गुणन करने पर $AM^{2} = MT \times MO$ प्राप्त होता है।