$\Delta PQR$ में,$\overline{QM}$ एक शीर्षलंब है। यदि $PQ = 2PM$ और $RM = 3PM$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।

(N/A) दिया है: $\Delta PQR$ में,$\overline{QM} \perp \overline{PR}$। माना $PM = x$। तब $PQ = 2x$ और $RM = 3x$।
समकोण $\Delta QMP$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $PQ^2 = PM^2 + QM^2 \implies (2x)^2 = x^2 + QM^2 \implies 4x^2 = x^2 + QM^2 \implies QM^2 = 3x^2$।
समकोण $\Delta QMR$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: $QR^2 = QM^2 + RM^2 \implies QR^2 = 3x^2 + (3x)^2 \implies QR^2 = 3x^2 + 9x^2 = 12x^2$।
अब,$\Delta PQR$ की भुजाओं पर विचार करें: $PR = PM + RM = x + 3x = 4x$। अतः,$PR^2 = (4x)^2 = 16x^2$।
जाँचें कि क्या $PQ^2 + QR^2 = PR^2$: $PQ^2 + QR^2 = (2x)^2 + 12x^2 = 4x^2 + 12x^2 = 16x^2$।
चूँकि $PQ^2 + QR^2 = PR^2$,पाइथागोरस प्रमेय के विलोम द्वारा,$\Delta PQR$ एक समकोण त्रिभुज है जिसमें $\angle PQR = 90^\circ$ है।