ત્રિકોણ $PQR$ માં,$PR$ પર $N$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $QN \perp PR$ થાય. જો $PN \cdot NR = QN^2$ હોય,તો સાબિત કરો કે $\angle PQR = 90^{\circ}$.

(N/A) આપેલ છે: $\Delta PQR$ માં,$PR$ પર $N$ એવું બિંદુ છે કે જેથી $QN \perp PR$ અને $PN \cdot NR = QN^2$ થાય.
સાબિત કરવાનું છે: $\angle PQR = 90^{\circ}$.
સાબિતી: આપણી પાસે $PN \cdot NR = QN^2$ છે.
આને $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ તરીકે લખી શકાય.
$\Delta QNP$ અને $\Delta RNQ$ માં:
$1$. $\frac{PN}{QN} = \frac{QN}{NR}$ (આપેલ છે)
$2$. $\angle PNQ = \angle RNQ = 90^{\circ}$ ($QN \perp PR$ આપેલ છે)
$SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ,$\Delta QNP \sim \Delta RNQ$.
ત્રિકોણો સમરૂપ હોવાથી,તેમના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે:
$\angle PQN = \angle QRN$ (ધારો કે આ $\alpha$ છે)
$\angle RQN = \angle QPN$ (ધારો કે આ $\beta$ છે)
$\Delta PQR$ માં,ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે:
$\angle P + \angle R + \angle PQR = 180^{\circ}$
$\angle QPN + \angle QRN + (\angle PQN + \angle RQN) = 180^{\circ}$
સમાન ખૂણાઓ મૂકતા:
$\beta + \alpha + (\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$2(\alpha + \beta) = 180^{\circ}$
$\alpha + \beta = 90^{\circ}$
$\angle PQR = \alpha + \beta$ હોવાથી,$\angle PQR = 90^{\circ}$ થાય.
આમ,સાબિત થાય છે.