एक त्रिभुज के भीतर एक ऐसा बिंदु ज्ञात कीजिए जो त्रिभुज की सभी भुजाओं से समान दूरी पर हो।
(N/A) मान लीजिए एक $\Delta ABC$ है।
$\angle B$ का कोण समद्विभाजक $'l'$ खींचिए।
$\angle C$ का कोण समद्विभाजक $'m'$ खींचिए।
मान लीजिए कि दोनों कोण समद्विभाजक $'l'$ और $'m'$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है,इसलिए बिंदु $O$,$\angle B$ के समद्विभाजक पर स्थित है (अतः यह $AB$ और $BC$ से समान दूरी पर है) और $\angle C$ के समद्विभाजक पर भी स्थित है (अतः यह $BC$ और $AC$ से समान दूरी पर है)।
अतः,बिंदु $O$,$\Delta ABC$ की तीनों भुजाओं ($AB$,$BC$ और $AC$) से समान दूरी पर है। इस बिंदु $O$ को त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) कहा जाता है।
$\angle B$ का कोण समद्विभाजक $'l'$ खींचिए।
$\angle C$ का कोण समद्विभाजक $'m'$ खींचिए।
मान लीजिए कि दोनों कोण समद्विभाजक $'l'$ और $'m'$ बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।
चूंकि किसी कोण के समद्विभाजक पर स्थित कोई भी बिंदु उस कोण की भुजाओं से समान दूरी पर होता है,इसलिए बिंदु $O$,$\angle B$ के समद्विभाजक पर स्थित है (अतः यह $AB$ और $BC$ से समान दूरी पर है) और $\angle C$ के समद्विभाजक पर भी स्थित है (अतः यह $BC$ और $AC$ से समान दूरी पर है)।
अतः,बिंदु $O$,$\Delta ABC$ की तीनों भुजाओं ($AB$,$BC$ और $AC$) से समान दूरी पर है। इस बिंदु $O$ को त्रिभुज का अंतःकेंद्र (incenter) कहा जाता है।
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$(i)$ $\Delta APB \cong \Delta AQB$
$(ii)$ $BP = BQ$ अर्थात $B$ कोण $\angle A$ की भुजाओं से समदूरस्थ है।
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$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
$(iii)$ $AP$,$\angle A$ और $\angle D$ दोनों को समद्विभाजित करता है।
$(iv)$ $AP$,$BC$ का लंब समद्विभाजक है।
$(i)$ $\Delta ABD \cong \Delta ACD$
$(ii)$ $\Delta ABP \cong \Delta ACP$
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$(i)$ $\Delta ABE \cong \Delta ACF$
$(ii)$ $AB = AC$,अर्थात $ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
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