एक त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई पूर्णांक है। म | vedclass

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Question

(D) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a=1$,$b$,और $c$ हैं। संगत शीर्षलंब $h_a$,$h_b$,और $h_c$ हैं। क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_

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$11$

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(D) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a=1$,$b$,और $c$ हैं। संगत शीर्षलंब $h_a$,$h_b$,और $h_c$ हैं। क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ है।दिया है $h_a = 1 \cdot h_a$ और $h_b = 2 h_a$। चूँकि $h_a = \frac{2\Delta}{1}$ और $h_b = \frac{2\Delta}{b}$ है,सबसे लंबा शीर्षलंब सबसे छोटे का दोगुना होने की शर्त के अनुसार $b=2$ या $c=2$ प्राप्त होता है।$1, 2, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $2-1 भुजाएँ $1, 2, 2$ हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।अर्ध-परिमाप $s = \frac{1+2+2}{2} = \frac{5}{2}$ है।क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ है।अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{15}/4}{5/2} = \frac{\sqrt{15}}{10}$ है।परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{4 \cdot \sqrt{15}/4} = \frac{4}{\sqrt{15}}$ है।अतः $\frac{R}{r} = \frac{4/\sqrt{15}}{\sqrt{15}/10} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$ है।इस प्रकार $m=8$ और $n=3$ है। चूँकि $m, n$ सह-अभाज्य हैं,$m+n = 8+3 = 11$ है।

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