आकृति में,$\angle ABC = 69^{\circ}$ और $\angle ACB = 31^{\circ}$ है। $\angle BDC$ ज्ञात कीजिए। ($^{\circ}$ में)

मान लीजिए कि आपको एक वृत्त दिया गया है। इसका केंद्र ज्ञात करने के लिए एक रचना दीजिए।

एक कॉलोनी में $20 \, m$ त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार पार्क स्थित है। तीन लड़के अंकुर,सैयद और डेविड इसकी परिसीमा पर समान दूरी पर बैठे हैं,और प्रत्येक के हाथ में एक-दूसरे से बात करने के लिए एक खिलौना टेलीफोन है। प्रत्येक फोन की डोरी की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक कोण $\angle ABC$ का शीर्ष एक वृत्त के बाहर स्थित है और कोण की भुजाएँ वृत्त के साथ समान जीवाएँ $AD$ और $CE$ बनाती हैं। सिद्ध कीजिए कि $\angle ABC$ जीवाओं $DE$ और $AC$ द्वारा केंद्र पर अंतरित कोणों के अंतर का आधा है।

एक त्रिभुज $ABC$ के कोणों $A, B$ और $C$ के समद्विभाजक इसके परिवृत्त को क्रमशः $D, E$ और $F$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। सिद्ध कीजिए कि त्रिभुज $DEF$ के कोण $90^{\circ} - \frac{1}{2}A, 90^{\circ} - \frac{1}{2}B$ और $90^{\circ} - \frac{1}{2}C$ हैं।

$ABCD$ एक चक्रीय चतुर्भुज है जिसके विकर्ण एक बिंदु $E$ पर प्रतिच्छेद करते हैं। यदि $\angle DBC = 70^{\circ}$ और $\angle BAC = 30^{\circ}$ है,तो $\angle BCD$ ज्ञात कीजिए। इसके अतिरिक्त,यदि $AB = BC$ है,तो $\angle ECD$ ज्ञात कीजिए।