आकृति में,$O$ त्रिभुज $ABC$ के अंदर स्थित एक बिंदु है,$OD \perp BC$,$OE \perp AC$ और $OF \perp AB$ है। सिद्ध कीजिए कि $AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$।
(N/A) $OA$,$OB$ और $OC$ को मिलाइए।
समकोण त्रिभुजों $\triangle AFO$,$\triangle BDO$ और $\triangle CEO$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OA^{2} = AF^{2} + OF^{2} \implies AF^{2} = OA^{2} - OF^{2}$ ... $(i)$
$OB^{2} = BD^{2} + OD^{2} \implies BD^{2} = OB^{2} - OD^{2}$ ... $(ii)$
$OC^{2} = CE^{2} + OE^{2} \implies CE^{2} = OC^{2} - OE^{2}$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = (OA^{2} - OF^{2}) + (OB^{2} - OD^{2}) + (OC^{2} - OE^{2})$ ... $(iv)$
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुजों $\triangle AEO$,$\triangle CDO$ और $\triangle BFO$ में:
$OA^{2} = AE^{2} + OE^{2} \implies AE^{2} = OA^{2} - OE^{2}$
$OC^{2} = CD^{2} + OD^{2} \implies CD^{2} = OC^{2} - OD^{2}$
$OB^{2} = BF^{2} + OF^{2} \implies BF^{2} = OB^{2} - OF^{2}$
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} = (OA^{2} - OE^{2}) + (OC^{2} - OD^{2}) + (OB^{2} - OF^{2})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,यह समीकरण $(iv)$ के दाहिने पक्ष के बराबर है।
अतः,$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$।
समकोण त्रिभुजों $\triangle AFO$,$\triangle BDO$ और $\triangle CEO$ में,पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$OA^{2} = AF^{2} + OF^{2} \implies AF^{2} = OA^{2} - OF^{2}$ ... $(i)$
$OB^{2} = BD^{2} + OD^{2} \implies BD^{2} = OB^{2} - OD^{2}$ ... $(ii)$
$OC^{2} = CE^{2} + OE^{2} \implies CE^{2} = OC^{2} - OE^{2}$ ... $(iii)$
$(i)$,$(ii)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = (OA^{2} - OF^{2}) + (OB^{2} - OD^{2}) + (OC^{2} - OE^{2})$ ... $(iv)$
इसी प्रकार,समकोण त्रिभुजों $\triangle AEO$,$\triangle CDO$ और $\triangle BFO$ में:
$OA^{2} = AE^{2} + OE^{2} \implies AE^{2} = OA^{2} - OE^{2}$
$OC^{2} = CD^{2} + OD^{2} \implies CD^{2} = OC^{2} - OD^{2}$
$OB^{2} = BF^{2} + OF^{2} \implies BF^{2} = OB^{2} - OF^{2}$
इन्हें जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$AE^{2} + CD^{2} + BF^{2} = (OA^{2} - OE^{2}) + (OC^{2} - OD^{2}) + (OB^{2} - OF^{2})$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,यह समीकरण $(iv)$ के दाहिने पक्ष के बराबर है।
अतः,$AF^{2} + BD^{2} + CE^{2} = AE^{2} + CD^{2} + BF^{2}$।
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$(i)$ सभी वृत्त $........$ होते हैं। (सर्वांगसम,समरूप)
$(ii)$ सभी वर्ग $.........$ होते हैं। (समरूप,सर्वांगसम)
$(iii)$ सभी $.........$ त्रिभुज समरूप होते हैं। (समद्विबाहु,समबाहु)
$(iv)$ भुजाओं की समान संख्या वाले दो बहुभुज समरूप होते हैं,यदि $(a)$ उनके संगत कोण $......$ हों और $(b)$ उनकी संगत भुजाएँ $......$ हों। (बराबर,समानुपाती)
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