एक समबाहु त्रिभुज $ABC$ में,$D$ भुजा $BC$ पर स्थित एक ऐसा बिंदु है कि $BD = \frac{1}{3} BC$ है। सिद्ध कीजिए कि $9 AD^{2} = 7 AB^{2}$ है।

(N/A) माना समबाहु त्रिभुज की भुजा $a$ है,और $AE$,$\Delta ABC$ का $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब है।
चूंकि $AE$ एक समबाहु त्रिभुज का शीर्षलंब है,यह आधार $BC$ को समद्विभाजित करता है।
$\therefore BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ABE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AE^{2} = AB^{2} - BE^{2} = a^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3a^{2}}{4}$.
अतः,$AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
दिया है कि $BD = \frac{1}{3} BC = \frac{a}{3}$.
अब,$DE = BE - BD = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{3a - 2a}{6} = \frac{a}{6}$.
समकोण त्रिभुज $\Delta ADE$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$.
मान रखने पर:
$AD^{2} = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{a}{6})^{2} = \frac{3a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{36}$.
लघुत्तम समापवर्त्य $(LCM)$ $36$ लेने पर:
$AD^{2} = \frac{27a^{2} + a^{2}}{36} = \frac{28a^{2}}{36} = \frac{7a^{2}}{9}$.
चूंकि $a = AB$,इसलिए $AD^{2} = \frac{7 AB^{2}}{9}$.
अतः,$9 AD^{2} = 7 AB^{2}$.
इति सिद्धम।