એક સમબાજુ ત્રિકોણ $ABC$ માં,$D$ એ બાજુ $BC$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $BD = \frac{1}{3} BC$ થાય. સાબિત કરો કે $9 AD^{2} = 7 AB^{2}$.

(N/A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની બાજુ $a$ છે,અને $AE$ એ $\Delta ABC$ નો $BC$ પરનો વેધ છે.
સમબાજુ ત્રિકોણમાં વેધ પાયાને દુભાગે છે.
$\therefore BE = EC = \frac{BC}{2} = \frac{a}{2}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ABE$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AE^{2} = AB^{2} - BE^{2} = a^{2} - (\frac{a}{2})^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3a^{2}}{4}$.
તેથી,$AE = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
આપેલ છે કે $BD = \frac{1}{3} BC = \frac{a}{3}$.
હવે,$DE = BE - BD = \frac{a}{2} - \frac{a}{3} = \frac{3a - 2a}{6} = \frac{a}{6}$.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\Delta ADE$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$AD^{2} = AE^{2} + DE^{2}$.
કિંમતો મૂકતા:
$AD^{2} = (\frac{a\sqrt{3}}{2})^{2} + (\frac{a}{6})^{2} = \frac{3a^{2}}{4} + \frac{a^{2}}{36}$.
લસાઅ $36$ લેતા:
$AD^{2} = \frac{27a^{2} + a^{2}}{36} = \frac{28a^{2}}{36} = \frac{7a^{2}}{9}$.
અહીં $a = AB$ હોવાથી,$AD^{2} = \frac{7 AB^{2}}{9}$.
તેથી,$9 AD^{2} = 7 AB^{2}$.
આમ,સાબિત થાય છે.