આકૃતિમાં,$D$ એ $\Delta ABC$ ના કર્ણ $AC$ પરનું એક બિંદુ છે,જેથી $BD \perp AC,$ $DM \perp BC,$ અને $DN \perp AB$ થાય. સાબિત કરો કે $DM^{2} = DN \cdot MC.$

(N/A) $DB$ ને જોડો.
આપણી પાસે $DN \parallel CB,$ $DM \parallel AB,$ અને $\angle B = 90^{\circ}$ છે.
તેથી,$DMBN$ એક લંબચોરસ છે.
આમ,$DN = MB$ અને $DM = NB$ થાય.
$D$ એ $B$ માંથી $AC$ પર દોરેલા વેધનો લંબપાદ હોવાથી,$\angle CDB = 90^{\circ}$ થાય.
$\angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ} \dots(1)$
$\Delta CDM$ માં,$\angle 1 + \angle 2 + \angle DMC = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 1 + \angle 2 = 90^{\circ} \dots(2)$
$\Delta DMB$ માં,$\angle 3 + \angle DMB + \angle 4 = 180^{\circ} \Rightarrow \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ} \dots(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ પરથી,આપણને $\angle 1 = \angle 3$ મળે છે.
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ પરથી,આપણને $\angle 2 = \angle 4$ મળે છે.
$\Delta DCM$ અને $\Delta BDM$ માં,
$\angle 1 = \angle 3$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
$\angle 2 = \angle 4$ (ઉપર સાબિત કર્યું)
તેથી,$\Delta DCM \sim \Delta BDM$ ($AA$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આમ,$\frac{BM}{DM} = \frac{DM}{MC}$ થાય.
$BM = DN$ હોવાથી,$\frac{DN}{DM} = \frac{DM}{MC}$ થાય.
તેથી,$DM^{2} = DN \cdot MC$ સાબિત થાય છે.