आकृति में,$CM$ और $RN$ क्रमशः $\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ की माध्यिकाएँ हैं। यदि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है,तो सिद्ध कीजिए कि:
$(i)$ $\Delta AMC \sim \Delta PNR$
$(ii)$ $\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$
$(iii)$ $\Delta CMB \sim \Delta RNQ$

(A) दिया है: $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.
चूंकि त्रिभुज समरूप हैं,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं और संगत कोण बराबर हैं:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = \frac{CA}{RP} \quad ...(1)$
$\angle A = \angle P, \angle B = \angle Q, \angle C = \angle R \quad ...(2)$
चूंकि $CM$ और $RN$ माध्यिकाएँ हैं,$M$,$AB$ का मध्य-बिंदु है और $N$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$AB = 2AM$ और $PQ = 2PN$.
$(i)$ $(1)$ से,$\frac{2AM}{2PN} = \frac{CA}{RP} \implies \frac{AM}{PN} = \frac{CA}{RP}$.
साथ ही,$\angle MAC = \angle NPR$ ($(2)$ से)।
$SAS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta AMC \sim \Delta PNR$.
$(ii)$ चूंकि $\Delta AMC \sim \Delta PNR$,उनकी संगत भुजाएँ समानुपाती हैं:
$\frac{CM}{RN} = \frac{CA}{RP}$.
$(1)$ से,$\frac{CA}{RP} = \frac{AB}{PQ}$.
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{AB}{PQ}$.
$(iii)$ $\Delta CMB$ और $\Delta RNQ$ में:
$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR}$ ($(ii)$ और $(1)$ से)।
$\frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$ (माध्यिका के गुणधर्म से $BC = 2BM$ और $QR = 2QN$ होने के कारण)।
अतः,$\frac{CM}{RN} = \frac{BC}{QR} = \frac{BM}{QN}$.
$SSS$ समरूपता कसौटी द्वारा,$\Delta CMB \sim \Delta RNQ$.