एक त्रिभुज $ABC$ की भुजाएँ $AB$ और $AC$ तथा माध्यिका $AD$ एक अन्य त्रिभुज $PQR$ की भुजाओं $PQ$ और $PR$ तथा माध्यिका $PM$ के क्रमशः समानुपाती हैं। दर्शाइए कि $\Delta ABC \sim \Delta PQR$ है।

(A) दिया है कि,
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
मान लीजिए कि हम $AD$ और $PM$ को क्रमशः बिंदु $E$ और $L$ तक इस प्रकार बढ़ाते हैं कि $AD = DE$ और $PM = ML$ हो। फिर,$B$ को $E$ से,$C$ को $E$ से,$Q$ को $L$ से और $R$ को $L$ से जोड़िए।
हम जानते हैं कि माध्यिका सम्मुख भुजा को विभाजित करती है। इसलिए,$BD = DC$ और $QM = MR$ है।
साथ ही,$AD = DE$ (रचना से) और $PM = ML$ (रचना से) है।
चतुर्भुज $ABEC$ में,विकर्ण $AE$ और $BC$ एक-दूसरे को बिंदु $D$ पर समद्विभाजित करते हैं। इसलिए,चतुर्भुज $ABEC$ एक समांतर चतुर्भुज है।
$\therefore AC = BE$ और $AB = EC$ (समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं)।
इसी प्रकार,हम सिद्ध कर सकते हैं कि चतुर्भुज $PQLR$ एक समांतर चतुर्भुज है और $PR = QL, PQ = LR$ है।
यह दिया गया था कि $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$ है।
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ समरूपता कसौटी से)।
हम जानते हैं कि समरूप त्रिभुजों के संगत कोण बराबर होते हैं।
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
इसी प्रकार,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ और $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ और $\Delta PQR$ में:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (दिया है)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (समीकरण $(3)$ का उपयोग करते हुए)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ समरूपता कसौटी से)।