ત્રિકોણ $ABC$ ની બાજુઓ $AB$ અને $AC$ તથા મધ્યગા $AD$ એ બીજા ત્રિકોણ $PQR$ ની બાજુઓ $PQ$ અને $PR$ તથા મધ્યગા $PM$ ને અનુક્રમે પ્રમાણમાં છે. સાબિત કરો કે $\Delta ABC \sim \Delta PQR$.

(A) આપેલ છે કે,
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$
ધારો કે $AD$ અને $PM$ ને અનુક્રમે બિંદુ $E$ અને $L$ સુધી લંબાવીએ,જેથી $AD = DE$ અને $PM = ML$ થાય. ત્યારબાદ,$B$ ને $E$ સાથે,$C$ ને $E$ સાથે,$Q$ ને $L$ સાથે અને $R$ ને $L$ સાથે જોડો.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યગા સામેની બાજુને દુભાગે છે. તેથી,$BD = DC$ અને $QM = MR$.
વળી,$AD = DE$ (રચના મુજબ) અને $PM = ML$ (રચના મુજબ).
ચતુષ્કોણ $ABEC$ માં,વિકર્ણો $AE$ અને $BC$ એકબીજાને બિંદુ $D$ પર દુભાગે છે. તેથી,ચતુષ્કોણ $ABEC$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે.
$\therefore AC = BE$ અને $AB = EC$ (સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સામસામેની બાજુઓ સમાન હોય છે).
તે જ રીતે,આપણે સાબિત કરી શકીએ કે ચતુષ્કોણ $PQLR$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ છે અને $PR = QL, PQ = LR$.
આપેલ છે કે $\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR} = \frac{AD}{PM}$.
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{2AD}{2PM}$
$\Rightarrow \frac{AB}{PQ} = \frac{BE}{QL} = \frac{AE}{PL}$
$\therefore \Delta ABE \sim \Delta PQL$ ($SSS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).
આપણે જાણીએ છીએ કે સમરૂપ ત્રિકોણના અનુરૂપ ખૂણાઓ સમાન હોય છે.
$\therefore \angle BAE = \angle QPL \dots(1)$
તે જ રીતે,સાબિત કરી શકાય કે $\Delta AEC \sim \Delta PLR$ અને $\angle CAE = \angle RPL \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$\angle BAE + \angle CAE = \angle QPL + \angle RPL$
$\Rightarrow \angle CAB = \angle RPQ \dots(3)$
$\Delta ABC$ અને $\Delta PQR$ માં:
$\frac{AB}{PQ} = \frac{AC}{PR}$ (આપેલ છે)
$\angle CAB = \angle RPQ$ (સમીકરણ $(3)$ નો ઉપયોગ કરતા)
$\therefore \Delta ABC \sim \Delta PQR$ ($SAS$ સમરૂપતાની શરત મુજબ).