આકૃતિમાં,$AD$ એ ત્રિકોણ $ABC$ ની મધ્યગા છે અને $AM \perp BC$ છે. સાબિત કરો કે $AC^2 + AB^2 = 2AD^2 + \frac{1}{2} BC^2$.

(N/A) $\Delta ABM$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AM^2 + MB^2 = AB^2 \quad \dots(1)$
$\Delta AMC$ માં પાયથાગોરસનો પ્રમેય લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$AM^2 + MC^2 = AC^2 \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$2AM^2 + MB^2 + MC^2 = AB^2 + AC^2$
$AD$ એ મધ્યગા હોવાથી,$BD = DC = \frac{BC}{2}$ થાય.
આપણે $MB = BD - DM$ અને $MC = DC + DM = BD + DM$ લખી શકીએ.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$2AM^2 + (BD - DM)^2 + (BD + DM)^2 = AB^2 + AC^2$
$2AM^2 + (BD^2 + DM^2 - 2BD \cdot DM) + (BD^2 + DM^2 + 2BD \cdot DM) = AB^2 + AC^2$
$2AM^2 + 2BD^2 + 2DM^2 = AB^2 + AC^2$
$2(AM^2 + DM^2) + 2BD^2 = AB^2 + AC^2$
$\Delta ADM$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AM^2 + DM^2 = AD^2$ થાય.
તેથી,$2AD^2 + 2(\frac{BC}{2})^2 = AB^2 + AC^2$
$2AD^2 + 2(\frac{BC^2}{4}) = AB^2 + AC^2$
$2AD^2 + \frac{BC^2}{2} = AB^2 + AC^2$