'$AUCTION$' शब्द के अक्षरों को कितने अलग-अलग तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है कि स्वर हमेशा एक साथ आएं?

यदि $20$ भिन्न अवयवों वाले समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ के $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या,$a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या की $k$ गुनी है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि शब्द $SMALL$ के अक्षरों का उपयोग करके पाँच अक्षरों वाले सभी शब्द (अर्थपूर्ण या अर्थहीन) बनाए जाते हैं और उन्हें शब्दकोश के क्रम में व्यवस्थित किया जाता है,तो शब्द $SMALL$ का स्थान क्या होगा?

$15$ पुरुषों और $15$ महिलाओं में से $15$ टीमें इस प्रकार चुनने के तरीकों की संख्या क्या है कि प्रत्येक टीम में एक पुरुष और एक महिला हो?

समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots, 20\}$ से $\{1, 2, 3, \dots, 20\}$ तक के उन फलनों $f$ की संख्या ज्ञात कीजिए,जिनके लिए यदि $k$,$4$ का गुणज है,तो $f(k)$,$3$ का गुणज हो।

जब $0 \le r \le n-1$ हो,तो $\binom{n}{n-r} + \binom{n}{r+1}$ का मान किसके बराबर है?