$6$ पुरुषों और $4$ महिलाओं में से $5$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है यदि समिति में कम से कम एक महिला हो?

एक प्रश्न पत्र दो भागों,$A$ और $B$ में विभाजित है,जिनमें से प्रत्येक में $5$ प्रश्न हैं। यदि किसी उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्नों का चयन करना है,तो वह कितने तरीकों से चयन कर सकता है यदि उसे प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न चुनने हों?

एक प्रश्न पत्र में दो खंड $A$ और $B$ हैं,जिसमें खंड-$A$ में $8$ प्रश्न और खंड-$B$ में $6$ प्रश्न हैं। एक छात्र को कुल $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें खंड-$A$ से कम से कम $4$ प्रश्न और खंड-$B$ से कम से कम $3$ प्रश्न चुनने हैं। तो छात्र उस प्रश्न पत्र को कितनी तरह से हल कर सकता है?

$n$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए ${ }^{(n-1)} C_2 + { }^{(n-1)} C_3 > { }^n C_2$ है।

एक परीक्षक $8$ प्रश्नों के लिए $30$ अंक आवंटित कर सकता है। यदि वह किसी भी प्रश्न को $2$ से कम अंक नहीं देता है,तो वह कितने तरीकों से अंक आवंटित कर सकता है?

$8$ समान गेंदों को $3$ अलग-अलग बक्सों में कितनी तरह से वितरित किया जा सकता है ताकि कोई भी बक्सा खाली न रहे?