'$UNIVERSAL$' शब्द के अक्षरों को कितने तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है यदि $E, R, S$ हमेशा एक साथ हों?

आकृति के वर्गों में छह '$X$' को इस प्रकार रखा जाना है कि प्रत्येक पंक्ति में कम से कम एक '$X$' हो। इसे कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

यदि ${ }^{2 n} C_{r} = { }^{2 n} C_{r+2}$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

$CALCUTTA$ शब्द के अक्षरों के विन्यासों की संख्या क्या है?

$3$ प्रशिक्षुओं,$4$ प्रोफेसरों और $6$ अनुसंधान सहयोगियों में से $5$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है। यदि समिति में सभी $4$ प्रोफेसर और $1$ अनुसंधान सहयोगी या सभी $3$ प्रशिक्षु और $2$ प्रोफेसर होने चाहिए,तो यह कितने अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है?

एक नंबर लॉक तीन छल्लों (rings) से बना है। यदि $1^{st}$ छल्ले पर $0$ से $9$ तक के अंक अंकित हैं,$2^{nd}$ छल्ले पर $2$ से बड़े लेकिन $30$ से छोटे अभाज्य अंक अंकित हैं,और $3^{rd}$ छल्ले पर सभी स्वर (vowels) अंकित हैं,तो असफल प्रयासों की कुल संख्या ज्ञात कीजिए।