आकृति में,$OD$ एक वृत्त की जीवा $AB$ पर लंब है जिसका केंद्र $O$ है। यदि $BC$ एक व्यास है,तो सिद्ध कीजिए कि $CA = 2OD$ है।
(N/A) हमारे पास $O$ केंद्र वाला एक वृत्त है। $BC$ एक व्यास है और $AB$ एक जीवा है,जहाँ $OD \perp AB$ है। $AC$ को मिलाइए।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
चूँकि $O$ वृत्त का केंद्र है,$O$ व्यास $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$OD$,$\triangle ABC$ की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$OD \parallel CA$ और $OD = \frac{1}{2} CA$ है।
अतः,$CA = 2OD$ है।
वृत्त के केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए,$D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है।
चूँकि $O$ वृत्त का केंद्र है,$O$ व्यास $BC$ का मध्य-बिंदु है।
$\triangle ABC$ में,$O$,$BC$ का मध्य-बिंदु है और $D$,$AB$ का मध्य-बिंदु है। इसलिए,$OD$,$\triangle ABC$ की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड है।
मध्य-बिंदु प्रमेय के अनुसार,त्रिभुज की दो भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड तीसरी भुजा के समांतर होता है और उसकी लंबाई तीसरी भुजा की आधी होती है।
इसलिए,$OD \parallel CA$ और $OD = \frac{1}{2} CA$ है।
अतः,$CA = 2OD$ है।
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