$37! = 2^{\alpha_2} \cdot 3^{\alpha_3} \cdot 5^{\alpha_5} \cdots 37^{\alpha_{37}}$ ના અવિભાજ્ય અવયવીકરણમાં,ગુણોત્તર $\alpha_3 : \alpha_5$ શું છે?

એક માણસને $7$ સંબંધીઓ છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે; તેની પત્નીને બીજા $7$ સંબંધીઓ છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. તેઓ $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં એવી રીતે આમંત્રિત કરી શકે કે જેથી માણસના $3$ સંબંધીઓ અને પત્નીના $3$ સંબંધીઓ હોય,તો તે કુલ કેટલી રીતે શક્ય છે?

$ASSASSIN$ શબ્દના અક્ષરોને યાદચ્છિક રીતે એક હરોળમાં ગોઠવવામાં આવે છે. કોઈ પણ બે $S$ સાથે ન આવે તેની સંભાવના કેટલી?

$0, 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી તમામ શક્ય $8$ અંકની સંખ્યાઓમાંથી એક સંખ્યા યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. પસંદ કરેલી સંખ્યા એકી હોવાની સંભાવના કેટલી છે?

$4$ અલગ-અલગ વસ્તુઓને $6$ વ્યક્તિઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા શોધો કે જેથી કોઈ પણ વ્યક્તિને બધી વસ્તુઓ ન મળે.

સાત અંકની એવી કુલ કેટલી સંખ્યાઓ છે જેના અંકોનો સરવાળો બેકી (even) હોય?