એક માણસને $7$ સંબંધીઓ છે,જેમાંથી $4$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષો છે; તેની પત્નીને બીજા $7$ સંબંધીઓ છે,જેમાંથી $3$ સ્ત્રીઓ અને $4$ પુરુષો છે. તેઓ $3$ સ્ત્રીઓ અને $3$ પુરુષોને પાર્ટીમાં એવી રીતે આમંત્રિત કરી શકે કે જેથી માણસના $3$ સંબંધીઓ અને પત્નીના $3$ સંબંધીઓ હોય,તો તે કુલ કેટલી રીતે શક્ય છે?

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$i.$ $n$ વસ્તુઓને $k$ પાત્રોમાં $(k \leq n)$ એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પાત્ર ખાલી ન રહે,તે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે.
$ii.$ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $k$ ધન પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે લખવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે.
$iii.$ $n$ વસ્તુઓને $k$ પાત્રોમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી ઓછામાં ઓછું એક પાત્ર ખાલી ન હોય,તે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે.
$iv.$ ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$.

$\sum \limits_{r=0}^{22} {}^{22}C_{r} \cdot {}^{23}C_{r}$ નું મૂલ્ય $.......$ છે.

જો $a_n = \sum_{r=0}^n \frac{1}{^nC_r}$ હોય,તો $\sum_{r=0}^n \frac{r}{^nC_r}$ ની કિંમત શું થાય?

કોઈ પૂર્ણાંક $n$ અને તેના ઘન $n^3$ વચ્ચેનો તફાવત હંમેશા નીચેનામાંથી કોના વડે વિભાજ્ય છે?

$^{29}C_5 + \sum_{r=0}^{4} {^{(33-r)}C_4} =$