फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{x^{2}}{\sqrt{x^{6}+a^{6}}}$

(A) माना $x^{3} = t$.
अतः,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $3x^{2} dx = dt$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x^{2} dx = \frac{1}{3} dt$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int \frac{x^{2}}{\sqrt{x^{6}+a^{6}}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x^{3})^{2} + (a^{3})^{2}}} \cdot \frac{1}{3} dt$
$= \frac{1}{3} \int \frac{dt}{\sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}}$
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{x^{2} + a^{2}}} = \log |x + \sqrt{x^{2} + a^{2}}| + C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{3} \log |t + \sqrt{t^{2} + (a^{3})^{2}}| + C$
अब $t = x^{3}$ का मान वापस रखने पर:
$= \frac{1}{3} \log |x^{3} + \sqrt{x^{6} + a^{6}}| + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।