फलन का समाकलन कीजिए: $\frac{1}{\sqrt{8+3x-x^{2}}}$

$\int \frac{1}{\sqrt{8+3x-x^{2}}} dx$ का समाकलन करने के लिए,हम पहले द्विघात व्यंजक $8+3x-x^{2}$ को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखते हैं।
$8+3x-x^{2} = - (x^{2}-3x-8)$
$= - \left(x^{2}-3x + (\frac{3}{2})^{2} - (\frac{3}{2})^{2} - 8\right)$
$= - \left((x-\frac{3}{2})^{2} - \frac{9}{4} - 8\right)$
$= - \left((x-\frac{3}{2})^{2} - \frac{41}{4}\right)$
$= \frac{41}{4} - (x-\frac{3}{2})^{2}$
अब,समाकलन $\int \frac{1}{\sqrt{\frac{41}{4} - (x-\frac{3}{2})^{2}}} dx$ हो जाता है।
माना $t = x-\frac{3}{2}$,तब $dt = dx$ होगा।
सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^{2}-t^{2}}} dt = \sin^{-1}(\frac{t}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = \frac{\sqrt{41}}{2}$:
$= \sin^{-1}\left(\frac{x-\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{41}}{2}}\right) + C$
$= \sin^{-1}\left(\frac{2x-3}{\sqrt{41}}\right) + C$,जहाँ $C$ एक स्वेच्छ अचर है।