मान लीजिए f:(0, pi) rightarrow mathbb{R} एक फ | vedclass

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Question

(B) $f$ के $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} f

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$81$

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(B) $f$ के $x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}^-} f(x) = f(\frac{\pi}{2}) = \lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}^+} f(x)$ होना चाहिए।$1$. बायाँ सीमा $(LHL)$: $\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}^-} (\frac{8}{7})^{\frac{	an 8x}{	an 7x}}$.जैसे ही $x ightarrow \frac{\pi}{2}$,$	an 8x ightarrow 	an 4\pi = 0$ और $	an 7x ightarrow 	an \frac{7\pi}{2} = \infty$। अतः,घातांक $\frac{	an 8x}{	an 7x} ightarrow 0$। इसलिए,$LHL$ $= (\frac{8}{7})^0 = 1$.$2$. $x=\frac{\pi}{2}$ पर फलन का मान: $f(\frac{\pi}{2}) = a-8$.$3$. दायाँ सीमा $(RHL)$: $\lim_{x ightarrow \frac{\pi}{2}^+} (1+|\cot x|)^{\frac{b}{a}|	an x|}$.मान लीजिए $t = |\cot x|$। जैसे ही $x ightarrow \frac{\pi}{2}^+$,$t ightarrow 0$ और $|	an x| = \frac{1}{t}$।सीमा $\lim_{t ightarrow 0} (1+t)^{\frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t}} = e^{\lim_{t ightarrow 0} \frac{b}{a} \cdot \frac{1}{t} \cdot t} = e^{\frac{b}{a}}$ हो जाती है।मानों की तुलना करने पर: $1 = a-8 = e^{\frac{b}{a}}$।$1 = a-8$ से,हमें $a=9$ प्राप्त होता है।$1 = e^{\frac{b}{a}}$ से,$\frac{b}{a} = 0$,इसलिए $b=0$ प्राप्त होता है।अतः,$a^2+b^2 = 9^2 + 0^2 = 81$।

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