अतिपरवलय $\frac{x^2}{\cos^2 \alpha} - \frac{y^2}{\sin^2 \alpha} = 4$ के नाभिलंब की लंबाई (जहाँ $\alpha \neq \frac{n\pi}{2}, n \in I$) ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि एक अतिपरवलय $H$ का केंद्र मूल बिंदु पर है और नाभियाँ $x$-अक्ष पर हैं। मान लीजिए $C_1$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को स्पर्श करता है और जिसका केंद्र मूल बिंदु पर है। मान लीजिए $C_2$ एक वृत्त है जो अतिपरवलय $H$ को उसके शीर्ष पर स्पर्श करता है और जिसका केंद्र उसकी एक नाभि पर है। यदि $C_1$ और $C_2$ के क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्रमशः $36 \pi$ और $4 \pi$ हैं,तो $H$ के नाभिलंब की लंबाई (इकाइयों में) क्या है?

$x = \frac{a}{2} (t + \frac{1}{t})$ और $y = \frac{a}{2} (t - \frac{1}{t})$ द्वारा दिए गए वक्र का कार्तीय रूप क्या है,जहाँ $t$ एक प्राचल है?

यदि अतिपरवलय $16x^2 - 25y^2 = 400$ पर किसी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल $p$ है और दोनों अनंतस्पर्शी के बीच का कोण $\theta$ है,तो $p \tan \frac{\theta}{2} =$

अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ का सहायक वृत्त (auxiliary circle) है:

मान लीजिए $L(ae, b^2/a)$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के नाभिलंब का प्रथम चतुर्थांश में स्थित अंतिम बिंदु है और $S(ae, 0)$ दिए गए अतिपरवलय की नाभि है। यदि $L$ का मान $(x_1, 4)$ है और $S$ का मान $(8, y_1)$ है,तो इसके अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई ज्ञात कीजिए।