ધારો કે f(x) = begin{cases} frac{x}{sin x}, & | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $f(0) = 1$. આપણે $\lim_{n 	o \infty} I_n$ શોધવું છે જ્યાં $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1

Vedclass · Accepted Answer

અસ્તિત્વ ધરાવે છે અને $0$ છે

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \frac{x}{\sin x}$ જ્યાં $x \in (0, 1)$ અને $f(0) = 1$. આપણે $\lim_{n 	o \infty} I_n$ શોધવું છે જ્યાં $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$. ધારો કે $nx = t$,તેથી $x = t/n$ અને $dx = dt/n$. જ્યારે $x$ ની કિંમત $0$ થી $1/n$ સુધી જાય છે,ત્યારે $t$ ની કિંમત $0$ થી $1$ સુધી જાય છે. આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા: $I_n = \sqrt{n} \int_0^1 f(t/n) e^{-t} \frac{dt}{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 \frac{t/n}{\sin(t/n)} e^{-t} dt$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\lim_{u 	o 0} \frac{u}{\sin u} = 1$. જેમ $n 	o \infty$,તેમ $t/n 	o 0$ થાય છે,જ્યાં $t \in [0, 1]$. તેથી,$\lim_{n 	o \infty} \frac{t/n}{\sin(t/n)} = 1$. સંકલન ચિહ્ન હેઠળ લક્ષના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{n 	o \infty} I_n = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} \int_0^1 (1) e^{-t} dt = \lim_{n 	o \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} [1 - e^{-1}] = 0 	imes (1 - e^{-1}) = 0$.

ધારો કે $f(x) = \begin{cases} \frac{x}{\sin x}, & x \in (0, 1) \\ 1, & x = 0 \end{cases}$. સંકલન $I_n = \sqrt{n} \int_0^{1/n} f(x) e^{-nx} dx$ ધ્યાનમાં લો. તો,$\lim_{n \to \infty} I_n$ શું થાય?

Similar Questions

$\int_0^\pi \frac{dx}{1 - 2a\cos x + a^2} = $

$\int_0^{\pi /4} {\frac{{\sin x + \cos x}}{{9 + 16\sin 2x}}\,dx = } $

$\int_0^1 \frac{dx}{e^x + e^{-x}}$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવતું હોય,તો સંકલન $\int_{\frac{3 \pi}{4}}^\pi \left[ \sin x + \left[ \frac{4 x}{\pi} \right] \right] dx$ ની કિંમત શોધો.

જો $[x]$ એ $x$ થી મોટું ન હોય તેવું મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય હોય,તો $\int_0^8 [x] dx$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module