मान लीजिए int {{sec }^{ - 1}}left[ { - {sin } | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन $I = \int {{\sec }^{ - 1}}\left[ { - {\sin }^2x} \right]dx$ है। चूँकि $0 \le {\sin }^2x \le 1$,इसलिए $-1 \le -{\sin }^2x \le 0$ हो

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$2$

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(A) दिया गया समाकलन $I = \int {{\sec }^{ - 1}}\left[ { - {\sin }^2x} ight]dx$ है। चूँकि $0 \le {\sin }^2x \le 1$,इसलिए $-1 \le -{\sin }^2x \le 0$ होता है। $x 
eq 0$ के लिए,$-{\sin }^2x$ अंतराल $[-1, 0)$ में है। महत्तम पूर्णांक फलन $[ - {\sin }^2x ]$ का मान प्रत्येक $x 
eq n\pi$ के लिए $-1$ होता है। अतः,समाकलन $\int {{\sec }^{ - 1}}( - 1)dx = \int \pi dx = \pi x + C$ हो जाता है। चूँकि $f(0) = 0$ दिया गया है,इसलिए $f(x) = \pi x$ प्राप्त होता है। अब,हमें $x = 2$ पर ${\left( {f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} ight)} ight)''}$ का मान ज्ञात करना है। $f\left( {\frac{8}{{\pi x}}} ight) = \pi \left( {\frac{8}{{\pi x}}} ight) = \frac{8}{x} = 8x^{-1}$. प्रथम अवकलन: $\frac{d}{dx}(8x^{-1}) = -8x^{-2}$. द्वितीय अवकलन: $\frac{d^2}{dx^2}(8x^{-1}) = 16x^{-3} = \frac{16}{x^3}$. $x = 2$ पर,मान $\frac{16}{2^3} = \frac{16}{8} = 2$ है।

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