मान लीजिए f एक बहुपद फलन है,इस प्रकार कि सभी | vedclass

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Question

(B) मान लीजिए $f(x) = ax^n + \dots$ घात $n$ का एक बहुपद है।$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ के दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:$n = (n-1) + (n-2) =

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$f''(2) - f'(2) = 0$

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(B) मान लीजिए $f(x) = ax^n + \dots$ घात $n$ का एक बहुपद है।$f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ के दोनों पक्षों की घातों की तुलना करने पर:$n = (n-1) + (n-2) = 2n - 3$,जिससे $n = 3$ प्राप्त होता है।मान लीजिए $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ है।तब $f(3x) = a(3x)^3 + b(3x)^2 + c(3x) + d = 27ax^3 + 9bx^2 + 3cx + d$ है।$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$ और $f''(x) = 6ax + 2b$ है।$f'(x) \cdot f''(x) = (3ax^2 + 2bx + c)(6ax + 2b) = 18a^2x^3 + (6ab + 12ab)x^2 + (4b^2 + 6ac)x + 2bc$ है।$x^3$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $27a = 18a^2 \Rightarrow a = \frac{3}{2}$ (क्योंकि $a 
eq 0$)।$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $9b = 18ab = 18(\frac{3}{2})b = 27b \Rightarrow b = 0$ है।$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $3c = 4b^2 + 6ac = 0 + 6(\frac{3}{2})c = 9c \Rightarrow c = 0$ है।अचर पदों की तुलना करने पर: $d = 2bc = 0$ है।अतः,$f(x) = \frac{3}{2}x^3$ है।तब $f'(x) = \frac{9}{2}x^2$ और $f''(x) = 9x$ है।$x = 2$ पर,$f'(2) = \frac{9}{2}(4) = 18$ और $f''(2) = 9(2) = 18$ है।इसलिए,$f''(2) - f'(2) = 18 - 18 = 0$ है।

मान लीजिए $f$ एक बहुपद फलन है,इस प्रकार कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f(3x) = f'(x) \cdot f''(x)$ है। तो:

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यदि $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$, जहाँ $a, b$ प्राचल (parameters) हैं, तो $x^2 y^{\prime \prime}+x y^{\prime}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x)=\tan ^{-1}\left[\frac{\log \left(\frac{e}{x^{2}}\right)}{\log \left(e x^{2}\right)}\right]+\tan ^{-1}\left[\frac{3+2 \log x}{1-6 \log x}\right]$ है, तो $f^{\prime \prime}(x)$ का मान क्या होगा?

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