मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रम $3 \times 3$ के दो व्युत्क्रमणीय आव्यूह हैं। यदि $\det(ABA^T) = 8$ और $\det(AB^{-1}) = 8$ है,तो $\det(BA^{-1}B^T)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रम $3$ के दो वर्ग आव्यूह हैं जैसे कि $|A|=3$ और $|B|=2$ है। तो $\left|A^{T} A(\operatorname{adj}(2A))^{-1}(\operatorname{adj}(4B))(\operatorname{adj}(AB))^{-1} AA^{T}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $M = \begin{bmatrix} 0 & -\alpha \\ \alpha & 0 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha$ एक शून्येतर वास्तविक संख्या है और $N = \sum_{k=1}^{49} M^{2k}$ है। यदि $(I - M^2)N = -2I$ है,तो $\alpha$ का धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 \\ 4 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ है,तो सिद्ध कीजिए कि $A^{3} - 23A - 40I = 0$ है।

मान लीजिए $A$ क्रम $3$ का एक नॉन-सिंगुलर आव्यूह है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A))) = 3^{-13} \cdot 2^{-10}$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = 2^m \cdot 3^n$ है,तो $|3m + 2n|$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $a = \text{Minimum} \{x^2 + 2x + 3, x \in R\}$ और $b = \lim_{\theta \to 0} \frac{1 - \cos \theta}{\theta^2}$. तो $\sum_{r = 0}^n a^r \cdot b^{n - r}$ का मान ज्ञात कीजिए।