मान लीजिए $A$ क्रम $3$ का एक नॉन-सिंगुलर आव्यूह है। यदि $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2 \operatorname{adj}((\operatorname{det} A) A))) = 3^{-13} \cdot 2^{-10}$ और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2A)) = 2^m \cdot 3^n$ है,तो $|3m + 2n|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A$ और $B$ समान कोटि के दो वर्ग आव्यूह इस प्रकार हैं कि $AB = B$ और $BA = A$,तो $A^{2} + B^{2}$ हमेशा किसके बराबर है?

मान लीजिए $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है,जिसके लिए सभी अशून्य $3 \times 1$ आव्यूहों $X=\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]$ के लिए $X^{T}AX = O$ है। यदि $A \left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ -5\end{array}\right]$,$A \left[\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 4 \\ -8\end{array}\right]$,और $\operatorname{det}(\operatorname{adj}(2(A+I)))=2^\alpha 3^\beta 5^\gamma$,जहाँ $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{N}$,तो $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2$ का मान है

$\left|\begin{array}{lll}2 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 2 \\ 5 & 2 & 3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ 7 & 11 & 13 \\ 49 & 121 & 169\end{array}\right|=$

मान लीजिए $A$ और $B$ $3 \times 3$ वास्तविक आव्यूह हैं,जहाँ $A$ एक सममित आव्यूह है और $B$ एक विषम-सममित आव्यूह है। तो रैखिक समीकरण निकाय $(A^{2}B^{2} - B^{2}A^{2})X = O$,जहाँ $X$ अज्ञात चरों का $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह है और $O$ एक $3 \times 1$ शून्य आव्यूह है,के ....... हैं।

यदि $ P=\left|\begin{array}{ll}x & 1 \\ 1 & x\end{array}\right| $ और $ Q=\left|\begin{array}{lll}x & 1 & 1 \\ 1 & x & 1 \\ 1 & 1 & x\end{array}\right| $ है,तो $ \frac{d Q}{d x}= $