मान लीजिए कि A,3 times 3 कोटि का एक वर्ग आव्य | vedclass

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Question

(C) दिया गया है कि $A$,$n 	imes n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,सारणिक के गुणधर्म के अनुसार $|kA| = k^n |A|$ होता है।यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $3 	imes 3

Vedclass · Accepted Answer

$k^3|A|$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है कि $A$,$n 	imes n$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,सारणिक के गुणधर्म के अनुसार $|kA| = k^n |A|$ होता है।यहाँ,आव्यूह $A$ की कोटि $3 	imes 3$ है,इसलिए $n = 3$ है।अतः,$|kA| = k^3 |A|$।वैकल्पिक रूप से,यदि $A = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{bmatrix}$ है,तो $kA = \begin{bmatrix} ka_1 & kb_1 & kc_1 \ ka_2 & kb_2 & kc_2 \ ka_3 & kb_3 & kc_3 \end{bmatrix}$ होगा।सारणिक लेने पर,हम प्रत्येक $3$ पंक्तियों में से $k$ को उभयनिष्ठ (common) ले सकते हैं:$|kA| = k \cdot k \cdot k \cdot \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \ a_2 & b_2 & c_2 \ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = k^3 |A|$।अतः,सही उत्तर $C$ है।

मान लीजिए कि $A$,$3 \times 3$ कोटि का एक वर्ग आव्यूह है,तो $|kA|$ किसके बराबर है?

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यदि $a, b, c$ सभी अलग-अलग हैं और $\left| \begin{array}{ccc} a & a^3 & a^4 - 1 \\ b & b^3 & b^4 - 1 \\ c & c^3 & c^4 - 1 \end{array} \right| = 0$ है,तो $abc(ab + bc + ca)$ का मान क्या होगा?

मान लीजिए $D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix}$ और $D' = \begin{vmatrix} a_1 + pb_1 & b_1 + qc_1 & c_1 + ra_1 \\ a_2 + pb_2 & b_2 + qc_2 & c_2 + ra_2 \\ a_3 + pb_3 & b_3 + qc_3 & c_3 + ra_3 \end{vmatrix}$,तो

$\left| {\begin{array}{ccc} 1 & 1+ac & 1+bc \\ 1 & 1+ad & 1+bd \\ 1 & 1+ae & 1+be \end{array}} \right| = $

सारणिकों के गुणधर्मों का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1 \\ a & b & c \\ a^{3} & b^{3} & c^{3} \end{array}\right|=(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)$

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