ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^* \,b = a \text{ અને } b \text{ નો લ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $5 \,^* \,7$ અને $20 \,^* \,16$ શોધો.

સમૂહ $(G, \times_{15})$ માં,જ્યાં $G = \{3, 6, 9, 12\}$ અને $\times_{15}$ એ $15$ મોડ્યુલો ગુણાકાર છે,તો તટસ્થ ઘટક (identity element) કયો છે?

નીચે વ્યાખ્યાયિત દરેક દ્વિ-ક્રિયા $^*$ માટે,$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો. $Q$ પર,$a ^* b = \frac{ab}{2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો.

જો ક્રિયા $ \oplus $ એ તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $ a $ અને $ b $ માટે $ a \oplus b = a^{2} + b^{2} $ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે,તો $ (2 \oplus 3) \oplus 4 = $

ગણ $R - \{-1\}$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીક્રીયા $^*$ માટે,જ્યાં $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ છે,તે ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો.

ધારો કે $^*$ એ $N$ પરની દ્વિ-ક્રિયા છે જે $a \,^*\, b = a \text{ અને } b \text{ નો ગુ.સા.અ.}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. શું $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે? શું $^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે? શું $N$ પર આ દ્વિ-ક્રિયા માટે તટસ્થ ઘટક અસ્તિત્વ ધરાવે છે?