ગણ $R - \{-1\}$ પર વ્યાખ્યાયિત દ્રીક્રીયા $^*$ માટે,જ્યાં $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ છે,તે ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે જૂથનો નિયમ તે નક્કી કરો.

દ્રીક્રીયા $a, b \in R - \{-1\}$ માટે $a ^* b = \frac{a}{b+1}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
$1$. ક્રમનો નિયમ (Commutativity):
$^*$ ક્રમનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $a ^* b$ અને $b ^* a$ ની સરખામણી કરીએ.
$a ^* b = \frac{a}{b+1}$
$b ^* a = \frac{b}{a+1}$
સામાન્ય રીતે $\frac{a}{b+1} \neq \frac{b}{a+1}$ હોવાથી (દા.ત.,$a=1, b=2$ લેતા,$1 ^* 2 = \frac{1}{3}$ અને $2 ^* 1 = \frac{2}{2} = 1$),તેથી $^*$ ક્રમનો નિયમ પાળતું નથી.
$2$. જૂથનો નિયમ (Associativity):
$^*$ જૂથનો નિયમ પાળે છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે $(a ^* b) ^* c$ અને $a ^* (b ^* c)$ ની સરખામણી કરીએ.
$(a ^* b) ^* c = (\frac{a}{b+1}) ^* c = \frac{\frac{a}{b+1}}{c+1} = \frac{a}{(b+1)(c+1)}$
$a ^* (b ^* c) = a ^* (\frac{b}{c+1}) = \frac{a}{\frac{b}{c+1} + 1} = \frac{a}{\frac{b+c+1}{c+1}} = \frac{a(c+1)}{b+c+1}$
સામાન્ય રીતે $\frac{a}{(b+1)(c+1)} \neq \frac{a(c+1)}{b+c+1}$ હોવાથી (દા.ત.,$a=1, b=2, c=3$ લેતા,$(1 ^* 2) ^* 3 = \frac{1}{(3)(4)} = \frac{1}{12}$ અને $1 ^* (2 ^* 3) = \frac{1(4)}{2+3+1} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$),તેથી $^*$ જૂથનો નિયમ પાળતું નથી.